اعداد کوانتومی و اوربیتال‌ها؛ تعیین چهار عدد کوانتومی الکترون

اوربیتال را با مدار بور یکی ندان

در مدل بور، الکترون در ترازهای انرژی معین پیرامون هسته توصیف می‌شود. مدل کوانتومی تصویر دقیق‌تری می‌دهد: اوربیتال ناحیه‌ای از فضاست که احتمال یافتن الکترون در آن زیاد است، نه مسیر دایره‌ای مشخصی که بتوان جای لحظه‌ای الکترون را روی آن علامت زد. بنابراین عبارت «حرکت الکترون روی اوربیتال» تصویر علمی مناسبی نیست.

هر اوربیتال حداکثر دو الکترون می‌پذیرد و این دو باید اسپین مخالف داشته باشند. زیرلایه از یک یا چند اوربیتال هم‌نوع تشکیل می‌شود و لایه می‌تواند چند زیرلایه داشته باشد. پس ترتیب درست از گسترده به محدود چنین است: لایه، زیرلایه، اوربیتال و الکترون.

• اوربیتال مسیر قطعی حرکت الکترون نیست
• هر اوربیتال حداکثر دو الکترون دارد
• یک زیرلایه از اوربیتال‌های هم‌انرژی یا نزدیک به هم ساخته می‌شود
• چهار عدد کوانتومی حالت یک الکترون را مشخص می‌کنند

عدد کوانتومی اصلی n لایه و اندازه کلی را نشان می‌دهد

عدد کوانتومی اصلی n یک عدد صحیح مثبت است: ۱، ۲، ۳ و به همین ترتیب. در اتم هیدروژن، انرژی الکترون مستقیماً به n وابسته است و با افزایش n، الکترون به طور متوسط در ناحیه‌ای دورتر از هسته قرار می‌گیرد. در اتم‌های چندالکترونی، انرژی به اثرهای دیگری مانند نوع زیرلایه نیز وابسته است؛ بنابراین نباید همه حالت‌های دارای n یکسان را الزاماً هم‌انرژی فرض کرد.

لایه nام در مجموع n زیرلایه، n² اوربیتال و حداکثر 2n² الکترون دارد. برای نمونه لایه سوم دارای سه زیرلایه 3s، 3p و 3d است؛ تعداد کل اوربیتال‌های آن 3² = 9 و ظرفیت نظری آن 2×3² = 18 الکترون است. این ظرفیت با ترتیب پرشدن زیرلایه‌ها یکی نیست؛ ممکن است پیش از تکمیل یک لایه، زیرلایه‌ای از لایه بعدی شروع به پرشدن کند.

• n فقط عدد صحیح مثبت می‌گیرد
• تعداد زیرلایه‌های لایه nام برابر n است
• تعداد اوربیتال‌های یک لایه برابر n² است
• حداکثر تعداد الکترون‌های یک لایه برابر 2n² است

عدد کوانتومی سمتی l نوع زیرلایه را تعیین می‌کند

برای یک مقدار مشخص n، عدد کوانتومی سمتی l می‌تواند از صفر تا n−1 تغییر کند. مقدارهای l با حروف زیرلایه‌ها متناظرند: l=0 برای s، مقدار l=1 برای p، مقدار l=2 برای d و مقدار l=3 برای f. پس در لایه دوم که n=2 است، فقط l=0 و l=1 مجازند و زیرلایه 2d وجود ندارد.

نام یک زیرلایه هم n و هم حرف متناظر با l را نشان می‌دهد. برای مثال در 4p، عدد اصلی n=4 و چون حرف p است، l=1 خواهد بود. قاعده وابستگی را همیشه از چپ به راست اجرا کن: ابتدا n را بخوان، دامنه l را بساز و سپس حرف زیرلایه را با مقدار l تطبیق بده.

• l از صفر تا n−1 است
• s → 0، p → 1، d → 2، f → 3
• زیرلایه 1p، زیرلایه 2d و زیرلایه 3f مجاز نیستند
• نام زیرلایه دو داده n و l را هم‌زمان در خود دارد

عدد کوانتومی مغناطیسی mₗ اوربیتال را مشخص می‌کند

عدد کوانتومی مغناطیسی mₗ برای یک l معین، همه عددهای صحیح از −l تا +l را می‌گیرد. بنابراین تعداد مقدارهای ممکن آن 2l+1 است و همین عدد، تعداد اوربیتال‌های آن زیرلایه را نشان می‌دهد. برای زیرلایه s فقط mₗ=0 وجود دارد؛ برای p مقدارهای −1، 0 و +1 و برای d پنج مقدار از −2 تا +2 داریم.

در نبود میدان بیرونی، اوربیتال‌های یک زیرلایه در توصیف ساده درسی هم‌انرژی‌اند. علامت‌های منفی و مثبت mₗ به معنی بار منفی یا مثبت الکترون نیستند؛ آن‌ها حالت‌های فضایی مجاز اوربیتال را از هم متمایز می‌کنند. از آنجا که هر اوربیتال دو الکترون می‌پذیرد، ظرفیت زیرلایه برابر 2(2l+1) می‌شود: s دو، p شش، d ده و f چهارده الکترون.

• mₗ عدد صحیحی از −l تا +l است
• تعداد اوربیتال‌های زیرلایه برابر 2l+1 است
• ظرفیت الکترونی زیرلایه برابر 2(2l+1) است
• علامت mₗ نشانه بار الکتریکی نیست

عدد کوانتومی اسپین mₛ دو حالت الکترون را جدا می‌کند

عدد کوانتومی اسپین mₛ فقط دو مقدار +1/2 و −1/2 دارد. در نمودار جعبه‌ای، معمولاً این دو حالت را با پیکان رو به بالا و رو به پایین نمایش می‌دهند. انتخاب اینکه کدام جهت را مثبت بنامیم قراردادی است، اما دو الکترون یک اوربیتال باید مقدارهای اسپین مخالف داشته باشند.

اصل طرد پائولی می‌گوید در یک اتم، هیچ دو الکترونی نمی‌توانند هر چهار عدد کوانتومی یکسان داشته باشند. دو الکترون یک اوربیتال n، l و mₗ یکسان دارند، اما mₛ آن‌ها متفاوت است. همین اصل ظرفیت دو الکترونی هر اوربیتال را توضیح می‌دهد و راه سریعی برای ردکردن مجموعه‌های تکراری فراهم می‌کند.

• mₛ فقط +1/2 یا −1/2 است
• دو الکترون یک اوربیتال اسپین مخالف دارند
• طبق اصل پائولی، چهار عدد کوانتومی دو الکترون یک اتم کاملاً یکسان نیست
• اسپین را پس از مشخص‌شدن اوربیتال تعیین کن

برای الکترون‌های هم‌انرژی از قاعده هوند استفاده کن

هنگام پرشدن اوربیتال‌های هم‌انرژی یک زیرلایه، قاعده هوند می‌گوید الکترون‌ها ابتدا اوربیتال‌ها را تک‌تک و با اسپین‌های موازی اشغال می‌کنند و سپس جفت‌شدن آغاز می‌شود. برای نمونه در زیرلایه p که سه اوربیتال دارد، سه الکترون نخست در سه جعبه جدا قرار می‌گیرند؛ الکترون چهارم با یکی از آن‌ها جفت می‌شود.

این قاعده تعداد الکترون‌های جفت‌نشده و رفتار مغناطیسی ماده را در سطح مقدماتی روشن می‌کند. بااین‌حال نسبت‌دادن یک mₗ مشخص به «آخرین الکترون» به ترتیب قراردادی رسم جعبه‌ها وابسته است. اگر سؤال یک ترتیب رسم معین نداده باشد، ممکن است چند مقدار mₗ هم‌ارز باشند؛ ولی n و l زیرلایه و تعداد الکترون‌های جفت‌نشده همچنان یکتا تعیین می‌شوند.

• اوربیتال‌های هم‌انرژی پیش از جفت‌شدن، تک‌تک پر می‌شوند
• الکترون‌های تک در این مرحله اسپین موازی دارند
• قاعده هوند پس از تعیین زیرلایه به کار می‌رود
• ترتیب چپ و راست جعبه‌های هم‌انرژی یک قرارداد رسم است

مثال حل‌شده: چهار عدد کوانتومی الکترون 3p را پیدا کن

الکترونی را در زیرلایه 3p در نظر بگیر که در اوربیتال با mₗ=0 قرار دارد و پیکان آن رو به پایین رسم شده است. از عدد ۳ می‌فهمیم n=3 و از حرف p نتیجه می‌گیریم l=1. مقدار mₗ نیز در صورت سؤال صفر داده شده و برای پیکان رو به پایین، با قرارداد رایج رسم، mₛ=−1/2 است. پس مجموعه چهار عدد کوانتومی آن (3, 1, 0, −1/2) خواهد بود.

برای کنترل مجازبودن مجموعه، وابستگی‌ها را بررسی می‌کنیم: l=1 در دامنه صفر تا n−1=2 قرار دارد؛ mₗ=0 نیز میان −1 و +1 است و mₛ یکی از دو مقدار مجاز است. همین زیرلایه سه اوربیتال و ظرفیت شش الکترون دارد، زیرا 2l+1=3 و دو برابر آن ۶ است. توجه کن که بدون مشخص‌کردن اوربیتال یا نمودار جعبه‌ای، فقط از عبارت «یک الکترون 3p» نمی‌توان mₗ و mₛ یکتایی استخراج کرد.

تمرین روشن و نکات کلیدی

تمرین: کدام مجموعه نامجاز است: الف) (2, 1, −1, +1/2)، ب) (3, 2, +2, −1/2)، پ) (2, 2, 0, +1/2)؟ مجموعه الف مجاز است، چون برای n=2 مقدار l=1 و برای آن mₗ=−1 پذیرفته می‌شود. مجموعه ب نیز مجاز است، چون l=2 و mₗ=+2 در دامنه‌های مربوط به n=3 قرار دارند. مجموعه پ نامجاز است، زیرا در n=2، مقدار l فقط می‌تواند صفر یا یک باشد و l=2 به زیرلایه 2d ناموجود اشاره می‌کند.

روش عملی این است که هر مجموعه را به ترتیب n، سپس l، بعد mₗ و سرانجام mₛ کنترل کنی. اگر عددی نامجاز بود، بررسی را همان‌جا متوقف کن. برای محاسبه ظرفیت نیز ابتدا تعداد مقدارهای mₗ یعنی 2l+1 را به دست آور و آن را برای دو اسپین ممکن در ۲ ضرب کن. این مسیر کوتاه، هم سؤال‌های تشخیص مجموعه و هم سؤال‌های شمارش اوربیتال و الکترون را پوشش می‌دهد.

• بررسی را همیشه از n آغاز کن
• دامنه l به n و دامنه mₗ به l وابسته است
• mₛ مستقل از سه عدد دیگر فقط دو مقدار دارد
• هر مقدار mₗ نماینده یک اوربیتال است
• هر اوربیتال حداکثر دو الکترون با اسپین مخالف دارد
• اگر ترتیب جعبه‌ها داده نشده، درباره mₗ آخرین الکترون بی‌دلیل پاسخ یکتا نساز