درصد مولی مخلوط دو گاز از جرم و حجم؛ حل دستگاه استوکیومتری

ابتدا مشخص کن دادهٔ حجم چه چیزی را به تو می‌دهد

در یک مخلوط گازی ایدئال، همه اجزا دما، فشار و حجم ظرف یکسانی دارند. قانون PV=nRT برای کل مخلوط نوشته می‌شود؛ بنابراین از n(total)=PV/RT تعداد مول کل همه گازها به دست می‌آید. اگر حجم مولی در شرایط مسئله داده شده باشد، می‌توان مستقیم نوشت n(total)=V(total)/Vₘ.

حجم‌های اجزای مخلوط را در یک ظرف با هم جمع نمی‌کنیم؛ هر جزء سراسر ظرف را اشغال می‌کند. منظور از «حجم جزئی» در نسبت‌های گازی، حجمی فرضی است که آن گاز به‌تنهایی در همان دما و فشار اشغال می‌کرد. برای گازهای ایدئال در دما و فشار یکسان، نسبت حجم‌های فرضی با نسبت مول‌ها برابر است؛ پس درصد حجمی و درصد مولی یکسان‌اند.

• از حجم کل، ابتدا مول کل مخلوط را بساز
• در صورت داده‌شدن P و T از PV=nRT استفاده کن
• در صورت داده‌شدن حجم مولی از n=V/Vₘ استفاده کن
• برای مخلوط ایدئال، درصد حجمی = درصد مولی

دو مجهول را با دو معادلهٔ مول و جرم پیدا کن

فرض کن مخلوط از گازهای ۱ و ۲ با جرم‌های مولی M₁ و M₂ ساخته شده و مقدار آن‌ها به‌ترتیب x و y مول است. از داده حجمی، معادله نخست x+y=n(total) خواهد بود. جرم هر جزء برابر جرم مولی ضربدر مقدار مول آن است؛ پس داده جرم کل، معادله دوم M₁x+M₂y=m(total) را می‌سازد.

پس از حل دستگاه، کسر مولی گاز ۱ برابر x/(x+y) و کسر مولی گاز ۲ برابر y/(x+y) است. برای درصد مولی هر کسر را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم. درصد جرمی مسیر دیگری دارد: جرم جزء را بر جرم کل تقسیم می‌کنیم. اگر جرم‌های مولی متفاوت باشند، درصد مولی و درصد جرمی یک جزء معمولاً برابر نیستند.

• مجهول‌ها را مول هر گاز بگیر، نه جرم آن‌ها
• معادله تعداد مول: x+y=n(total)
• معادله جرم: M₁x+M₂y=m(total)
• درصد مولی از مول جزء و درصد جرمی از جرم جزء ساخته می‌شود

جرم مولی میانگین یک کنترل سریع و یک میان‌بر است

جرم مولی میانگین مخلوط از رابطه M(avg)=m(total)/n(total) به دست می‌آید. این مقدار باید میان جرم مولی دو گاز قرار گیرد؛ اگر بیرون این بازه باشد، داده‌ها، واحدها یا محاسبه مول کل را اشتباه خوانده‌ای. هرچه M(avg) به جرم مولی یکی از گازها نزدیک‌تر باشد، کسر مولی همان گاز بیشتر است.

برای مخلوط دوتایی می‌توان نوشت M(avg)=x₁M₁+x₂M₂ و x₁+x₂=1. در نتیجه کسر مولی گاز ۱ از رابطه x₁=(M₂−M(avg))/(M₂−M₁) به دست می‌آید. این میان‌بر مفید است، اما دستگاه دو معادله‌ای عمومی‌تر و برای کنترل منشأ هر داده روشن‌تر است.

• M(avg)=جرم کل ÷ مول کل
• M(avg) باید بین M₁ و M₂ باشد
• میانگین به گاز فراوان‌تر از نظر مولی نزدیک‌تر است
• میانگین جرم مولی، میانگین ساده M₁ و M₂ نیست مگر مول‌ها برابر باشند

مثال حل‌شده: ترکیب مخلوط نیتروژن و اکسیژن

مخلوطی از N₂ و O₂ در شرایطی قرار دارد که حجم مولی گازها 24.0 L·mol⁻¹ است. اگر 12.0 لیتر از مخلوط 14.8 گرم جرم داشته باشد، درصد مولی هر گاز را پیدا می‌کنیم. مقدار کل مخلوط برابر 12.0÷24.0=0.500 mol است. مول N₂ را x و مول O₂ را y می‌گیریم؛ پس x+y=0.500.

با جرم مولی‌های N₂=28 و O₂=32 g·mol⁻¹، معادله جرم 28x+32y=14.8 است. از y=0.500−x داریم 28x+32(0.500−x)=14.8؛ بنابراین 16.0−4x=14.8 و x=0.300 mol می‌شود. در نتیجه y=0.200 mol است.

کسر مولی N₂ برابر 0.300÷0.500=0.60 و کسر مولی O₂ برابر 0.40 است؛ پس مخلوط ۶۰ درصد مولی نیتروژن و ۴۰ درصد مولی اکسیژن دارد. کنترل: جرم نیتروژن 8.4 گرم و جرم اکسیژن 6.4 گرم است و جمع آن‌ها 14.8 گرم می‌شود. همچنین M(avg)=14.8÷0.500=29.6 g·mol⁻¹ بین ۲۸ و ۳۲ قرار دارد.

• مول کل: ۰٫۵۰۰ mol
• مول N₂: ۰٫۳۰۰ mol
• مول O₂: ۰٫۲۰۰ mol
• درصد مولی N₂ و O₂: به‌ترتیب ۶۰٪ و ۴۰٪

تیپ تست کنکوری: از چگالی مخلوط به درصد مولی برس

صورت تست: مخلوطی از CH₄ و CO₂ در دما و فشار معین چگالی 1.25 g·L⁻¹ دارد. اگر حجم مولی گازها در همان شرایط 20.0 L·mol⁻¹ باشد، درصد مولی CH₄ چند است؟ گزینه‌ها: ۱) ۲۵٪ ۲) ۵۰٪ ۳) ۶۷٫۹٪ ۴) ۷۵٪.

یک مول مخلوط در این شرایط 20.0 لیتر حجم دارد؛ پس جرم یک مول مخلوط و در نتیجه M(avg) برابر 1.25×20.0=25.0 g·mol⁻¹ است. اگر کسر مولی CH₄ را z بگیریم، کسر مولی CO₂ برابر 1−z خواهد بود. می‌نویسیم 16z+44(1−z)=25؛ پس 44−28z=25 و z=19/28≈0.679 است. پاسخ ۶۷٫۹ درصد و گزینه ۳ است.

مسیر تصمیم‌گیری: نخست بررسی کن چگالی و حجم مولی مربوط به یک شرایط‌اند؛ سپس M(avg)=dVₘ را بساز؛ بعد میانگین را به صورت مجموع سهم مولی جرم‌های مولی بنویس؛ سرانجام کسر به‌دست‌آمده را به درصد تبدیل و جای میانگین را کنترل کن. چون 25 به 16 نزدیک‌تر از 44 است، فراوانی مولی متان باید بیشتر باشد و پاسخ با این پیش‌بینی سازگار است.

• ۱) ساخت M(avg) از dVₘ
• ۲) تعریف کسرهای z و 1−z
• ۳) نوشتن 16z+44(1−z)=25
• ۴) کنترل نزدیکی میانگین به گاز فراوان‌تر
• پاسخ درست: گزینه ۳

دام‌های رایج گزینه‌ها را پیش از محاسبه خنثی کن

دام نخست، برابرگرفتن درصد جرمی با درصد مولی است. در مثال نیتروژن و اکسیژن، درصد مولی N₂ برابر ۶۰٪ است، اما درصد جرمی آن 8.4÷14.8×100≈56.8٪ می‌شود. دام دوم، میانگین‌گرفتن ساده از جرم‌های مولی است؛ عدد (M₁+M₂)/2 فقط وقتی درست است که تعداد مول دو گاز برابر باشد.

دام سوم، استفاده از 22.4 L·mol⁻¹ بدون آن است که شرایط استاندارد مناسب در سؤال برقرار یا این مقدار داده شده باشد. دام چهارم، به‌کاربردن سانتی‌گراد به جای کلوین در PV=nRT است. همچنین اگر دو گاز با هم واکنش دهند، ابتدا باید واکنش و ماده باقی‌مانده را بررسی کرد؛ دستگاه این مقاله برای مخلوطی است که ترکیب آن در شرایط مسئله ثابت و اجزایش بی‌واکنش‌اند.

• درصد مولی را با درصد جرمی یکی نگیر
• از میانگین حسابی جرم‌های مولی بدون اثبات استفاده نکن
• حجم مولی را متناسب با شرایط همان سؤال انتخاب کن
• در PV=nRT دما را به کلوین تبدیل کن
• پیش از مدل‌سازی، واکنش‌دادن یا ندادن اجزای مخلوط را بررسی کن

تمرین زمان‌دار ۹۰ ثانیه‌ای

تمرین: در دما و فشاری که حجم مولی 25.0 L·mol⁻¹ است، 10.0 لیتر مخلوط He و Ne جرمی برابر 5.60 گرم دارد. با جرم‌های مولی He=4.0 و Ne=20.0 g·mol⁻¹، درصد مولی و درصد جرمی هلیم را در ۹۰ ثانیه پیدا کن.

پاسخ: مول کل 10.0÷25.0=0.400 mol است. اگر مول He را x بگیریم، مول Ne برابر 0.400−x است. معادله جرم 4x+20(0.400−x)=5.60 خواهد بود؛ پس 8.00−16x=5.60 و x=0.150 mol است. بنابراین کسر مولی هلیم 0.150÷0.400=0.375 و درصد مولی آن ۳۷٫۵٪ است.

جرم هلیم 4.0×0.150=0.600 گرم است؛ بنابراین درصد جرمی آن 0.600÷5.60×100≈10.7٪ می‌شود. تفاوت زیاد ۳۷٫۵٪ مولی و ۱۰٫۷٪ جرمی منطقی است، زیرا هر مول هلیم بسیار سبک‌تر از هر مول نئون است. برای کنترل دیگر، M(avg)=5.60÷0.400=14.0 g·mol⁻¹ و میان ۴ و ۲۰ قرار دارد.

• هدف زمانی: ۹۰ ثانیه
• مول کل: ۰٫۴۰۰ mol
• درصد مولی He: ۳۷٫۵٪
• درصد جرمی He: حدود ۱۰٫۷٪
• کنترل جرم مولی میانگین: ۱۴٫۰ g·mol⁻¹

نکات کلیدی و جمع‌بندی مسیر حل

در هر سؤال، ابتدا شرایط گاز و خواسته نهایی را خط بکش. از حجم، فشار و دما یا حجم مولی، n(total) را پیدا کن. سپس مول دو جزء را x و y بگیر و معادله x+y=n(total) را بنویس. با جرم مولی هر جزء، معادله M₁x+M₂y=m(total) را بساز و دستگاه را حل کن.

پس از یافتن مول‌ها، برای درصد مولی بر مول کل و برای درصد جرمی بر جرم کل تقسیم کن. در پایان سه کنترل انجام بده: x و y نباید منفی باشند، جمع درصدهای هر نوع باید ۱۰۰٪ شود و M(avg)=m/n باید بین جرم مولی دو جزء قرار گیرد. همین کنترل‌های کوتاه بسیاری از گزینه‌های دام‌دار را بدون محاسبه دوباره حذف می‌کنند.

• داده حجمی ← مول کل
• داده جرمی ← معادله جرم اجزا
• مول جزء ÷ مول کل ← کسر مولی
• جرم جزء ÷ جرم کل ← کسر جرمی
• کنترل نهایی: مقدارهای مثبت، مجموع ۱۰۰٪ و میانگین داخل بازه