قانون گراهام و سرعت نفوذ گازها؛ مقایسه گازهای سبک و سنگین

نفوذ و تراوش را از هم جدا کن

نفوذ یا diffusion پخش‌شدن خودبه‌خودی ذره‌های یک ماده میان ذره‌های ماده دیگر بر اثر حرکت نامنظم آن‌هاست. وقتی دو گاز در تماس قرار می‌گیرند، ذره‌ها از ناحیه با غلظت بیشتر به ناحیه با غلظت کمتر پخش می‌شوند تا مخلوط یکنواخت‌تری بسازند. برخوردهای فراوان میان مولکول‌ها مسیر واقعی هر ذره را پیوسته تغییر می‌دهد.

تراوش یا effusion عبور ذره‌های گاز از یک روزنه بسیار کوچک به فضای کم‌فشارتر یا خلأ است. روزنه باید در مقایسه با مسیر آزاد میانگین ذره‌ها کوچک باشد تا عبور مولکول‌ها تقریباً تک‌تک بررسی شود. قانون گراهام در بیان دقیق‌تر برای تراوش گازها مناسب است، اما در مسئله‌های دبیرستانی از همین وابستگی برای مقایسه کیفی یا تقریبی سرعت نفوذ دو گاز نیز استفاده می‌شود.

• نفوذ: آمیخته‌شدن ذره‌های گازها با یکدیگر
• تراوش: خروج گاز از روزنه‌ای بسیار کوچک
• هر دو فرایند از حرکت دائمی و نامنظم ذره‌ها ناشی می‌شوند
• شرایط دو گاز باید برای مقایسه یکسان یا قابل مقایسه باشد

گاز سبک‌تر در دمای یکسان تندی میانگین بیشتری دارد

دمای گاز معیاری از انرژی جنبشی میانگین ذره‌های آن است. اگر دو گاز در دمای یکسان باشند، انرژی جنبشی میانگین مولکول‌هایشان برابر است؛ اما چون انرژی جنبشی به جرم و مربع تندی وابسته است، ذره سبک‌تر برای داشتن همان انرژی باید تندی بیشتری داشته باشد.

از این نتیجه نباید برداشت کرد که همه مولکول‌های یک گاز با یک تندی حرکت می‌کنند. در هر نمونه، گستره‌ای از تندی‌ها وجود دارد و برخوردها پیوسته آن‌ها را تغییر می‌دهند. قانون گراهام درباره یک سرعت آماری تراوش یا نفوذ سخن می‌گوید، نه مسیر و تندی یک مولکول مشخص.

• در دمای برابر، انرژی جنبشی میانگین دو گاز برابر است
• جرم مولی کمتر با تندی میانگین بیشتر همراه است
• دما باید در مقایسه ثابت باشد
• سرعت قانون گراهام یک کمیت میانگین برای تعداد زیادی ذره است

رابطه قانون گراهام را درست بخوان

برای دو گاز ۱ و ۲ در دما و شرایط یکسان می‌نویسیم r₁/r₂ = √(M₂/M₁). در این رابطه r سرعت تراوش یا نرخ عبور گاز و M جرم مولی آن است. جابه‌جایی ترتیب جرم‌ها نسبت به سرعت‌ها مهم است: جرم مولی گاز ۲ در صورت رادیکال قرار می‌گیرد تا گاز سبک‌تر سرعت بزرگ‌تری پیدا کند.

رابطه را می‌توان به صورت r ∝ 1/√M نیز نوشت؛ یعنی سرعت با معکوس ریشه دوم جرم مولی متناسب است. پس دو برابرشدن جرم مولی، سرعت را نصف نمی‌کند، بلکه آن را به اندازه ضریب √2 کاهش می‌دهد. پیش از جای‌گذاری، هر دو جرم مولی را با یک واحد، معمولاً g·mol⁻¹، بنویس؛ چون در نسبت، واحدهای یکسان حذف می‌شوند.

• سرعت و ریشه دوم جرم مولی رابطه وارون دارند
• ترتیب اندیس‌ها را در دو سوی رابطه کنترل کن
• برای مقایسه، جرم مولی کافی است و جرم یک نمونه وارد رابطه نمی‌شود
• اثر جرم مولی خطی نیست؛ ریشه دوم دارد

از فرمول شیمیایی به جرم مولی برس

اگر نام گازها داده شده باشد، ابتدا فرمول و جرم مولی هرکدام را تعیین کن. برای نمونه جرم مولی H₂ تقریباً 2، N₂ تقریباً 28 و O₂ تقریباً 32 گرم بر مول است. زیروند هر عنصر در فرمول، تعداد اتم‌های آن عنصر را نشان می‌دهد و باید در جرم اتمی ضرب شود.

در گازهای ترکیبی نیز همین روش برقرار است. جرم مولی NH₃ برابر 14 + 3(1) = 17 و جرم مولی CO₂ برابر 12 + 2(16) = 44 g·mol⁻¹ است. مقایسه جرم مولی پیش از محاسبه یک کنترل مفید می‌دهد: NH₃ سبک‌تر است، پس پاسخ نهایی باید سرعت بیشتر آن را نشان دهد.

مثال حل‌شده: سرعت تراوش آمونیاک و کربن دی‌اکسید را مقایسه کن

دو گاز NH₃ و CO₂ را در دما و دستگاه یکسان در نظر بگیر. می‌خواهیم نسبت سرعت آمونیاک به کربن دی‌اکسید را بیابیم. جرم‌های مولی آن‌ها به‌ترتیب 17 و 44 g·mol⁻¹ است؛ بنابراین r(NH₃)/r(CO₂) = √(44/17).

حاصل 44÷17 تقریباً 2.59 و ریشه دوم آن تقریباً 1.61 است. پس آمونیاک در این مدل حدود ۱٫۶۱ برابر سریع‌تر از کربن دی‌اکسید تراوش می‌کند. عبارت «۱٫۶۱ برابر سریع‌تر» در اینجا یعنی نسبت سرعت‌ها ۱٫۶۱ است؛ نتیجه نیز با انتظار کیفی سازگار است، زیرا NH₃ جرم مولی کمتری دارد.

برای زمان عبور، نسبت را وارونه سرعت بنویس

اگر دو گاز مقدار یا مسافت قابل مقایسه‌ای را طی کنند، گازی که سریع‌تر است زمان کمتری نیاز دارد. در چنین مسئله‌ای زمان با سرعت نسبت وارون دارد؛ پس t₁/t₂ = r₂/r₁ = √(M₁/M₂). این وارونگی یکی از رایج‌ترین محل‌های خطاست.

برای مثال اگر مقدارهای برابر H₂ و O₂ از روزنه یکسان عبور کنند، r(H₂)/r(O₂) = √(32/2) = 4 است. هیدروژن چهار برابر سریع‌تر تراوش می‌کند؛ بنابراین برای عبور مقدار برابر، زمان آن یک‌چهارم زمان اکسیژن است. اگر اکسیژن ۲۰ دقیقه زمان بخواهد، هیدروژن در مدل ایدئال ۵ دقیقه نیاز دارد.

• سرعت بیشتر یعنی زمان کمتر
• برای مقدار عبوری برابر، t₁/t₂ = r₂/r₁
• نسبت زمان با ریشه جرم مولی هم‌جهت است
• شرط برابر بودن مقدار یا معیار عبور را از صورت سؤال بررسی کن

از سرعت مجهول، جرم مولی گاز را پیدا کن

گاهی نسبت سرعت‌ها و جرم مولی یک گاز داده می‌شود و باید جرم مولی گاز ناشناخته را محاسبه کنیم. ابتدا نسبت را بدون تقریب زودهنگام بنویس، سپس دو طرف را به توان دو برسان تا رادیکال حذف شود. در پایان جرم مولی به‌دست‌آمده را با سبک‌تر یا سنگین‌تر بودن گاز کنترل کن.

فرض کن گاز X با نصف سرعت هلیم تراوش کند. داریم r(X)/r(He) = 0.50 = √(M(He)/M(X)). با توان دوم، 0.25 = 4/M(X) و در نتیجه M(X) = 16 g·mol⁻¹ به دست می‌آید. چون X از هلیم کندتر است، جرم مولی بزرگ‌تر از 4 برای آن منطقی است. این عدد به‌تنهایی هویت قطعی گاز را ثابت نمی‌کند؛ چند گونه می‌توانند جرم مولی یکسان یا نزدیک داشته باشند.

محدوده کاربرد و خطاهای رایج را بشناس

قانون گراهام یک مدل مقایسه‌ای است و بهترین کاربرد آن زمانی است که دما، اختلاف فشار، روزنه و دستگاه برای دو گاز یکسان باشند و رفتار گازها به حالت ایدئال نزدیک باشد. در نفوذ واقعی، برخورد با مولکول‌های محیط، واکنش‌پذیری، شکل مولکول و شرایط آزمایش می‌توانند سبب شوند نتیجه دقیق با نسبت ساده قانون تفاوت داشته باشد.

قانون را برای مقایسه چگالی یا فشار دو نمونه بدون بررسی شرایط به کار نبر. همچنین «سبک‌تر بودن» به جرم مولی مربوط است، نه جرم کل گاز داخل ظرف. یک مخزن بزرگ هیدروژن می‌تواند جرم کل بیشتری از نمونه کوچک اکسیژن داشته باشد، اما مولکول H₂ همچنان سبک‌تر است و در شرایط یکسان نرخ تراوش بیشتری دارد.

• شرایط آزمایش دو گاز باید یکسان باشد
• جرم مولی را با جرم کل نمونه اشتباه نگیر
• نسبت سرعت را با نسبت زمان جابه‌جا نکن
• پیش از محاسبه، گاز سریع‌تر را به‌طور کیفی پیش‌بینی کن

تمرین روشن و نکات کلیدی

تمرین: متان CH₄ و گوگرد دی‌اکسید SO₂ در شرایط یکسان تراوش می‌کنند. نسبت سرعت متان به گوگرد دی‌اکسید را بیاب. جرم مولی CH₄ برابر 16 و جرم مولی SO₂ برابر 32 + 2(16) = 64 g·mol⁻¹ است. پس r(CH₄)/r(SO₂) = √(64/16) = √4 = 2؛ متان دو برابر سریع‌تر تراوش می‌کند.

اگر عبور مقدار برابر متان ۳۰ ثانیه طول بکشد، گوگرد دی‌اکسید چون نصف سرعت متان را دارد به ۶۰ ثانیه زمان نیاز خواهد داشت. مسیر مطمئن حل این است: فرمول و جرم مولی را بنویس، گاز سبک‌تر را مشخص کن، نسبت خواسته‌شده را دقیقاً با همان ترتیب بساز، جرم‌ها را در ترتیب وارون زیر رادیکال بگذار و پاسخ را با پیش‌بینی کیفی کنترل کن.

• قانون اصلی: r₁/r₂ = √(M₂/M₁)
• گاز با جرم مولی کمتر سریع‌تر است
• برای زمان‌های قابل مقایسه، نسبت سرعت وارونه می‌شود
• جرم‌های مولی را پیش از ورود به رادیکال محاسبه کن
• پاسخ عددی را با سبک‌تر یا سنگین‌تر بودن گاز کنترل کن